Descubrimos... ¡El sudoku!

 ¡Hola a todos!

Hoy vamos a tratar un juego muy divertido que no sólo entretiene sino que también nos ayuda a volver a nuestras mentes más rápidas y brillantes, se puede jugar tanto de forma online en móviles y portátiles como en papel y además nos ayuda a fortalecer nuestra mente cara a evitar problemas en el futuro. Sirve para desafiar nuestras habilidades de lógica y paciencia, tampoco se necesita ser un genio de las matemática sino solo prestar atención.

¿Qué es el Sudoku?: Se trata de un juego de lógica japonés que significa algo parecido a "solo un número" y si no lo conociéramos podríamos llegar a confundirlo con un crucigrama de números, aunque use números no se necesita ni sumar ni restar sino prestar atención y seguir las reglas.

Reglas básicas del Sudoku:

El tablero clásico tiene 9 filas y 9 columnas, formando un gran cuadrado dividido en otros 9 cuadraditos más pequeños, en total hay 81 casillas para llenar pero no os preocupéis que no hay que rellenarlas todas ya que es necesario que algunos números vengan ya dados para poder descifrar los huecos. También es necesario respetar varias reglas:

    1. Cada fila debe tener los números del 1 al 9, sin repetir.

    2. Cada columna también debe tener los números del 1 al 9, sin repetir.

    3. Cada cuadradito de 3x3 debe tener los números del 1 al 9, sin repetir.

Nuestro objetivo será completar el tablero llenando las casillas vacías con números siguiendo estas reglas, esto no es difícil pero a medida que juegues y veas Sudokus más grandes y difíciles descubrirás que hay algunos que son verdaderos rompecabezas.

¡Vamos a hacer uno juntos! Este será de 4 x 4 para que nos sea más sencillo cogerle el truco y practicar.

_ _ 3 _

3 _ _ 4

4 3 2 _

_ _ _ 3

Comenzamos por la tercera fila: Sólo hay un hueco por rellenar así que la única opción sería el 1.

_ _ 3 _

3 _ _ 4

4 3 2 1

_ _ _ 3

Seguimos por la primera fila: Primero vamos a por el último hueco ya que como esa columna está toda completa por lo que la única opción es el número 2. Pasmos al primer hueco y como ya tenemos descartados el 3 y el 2 y en la primera columna ya hay un número 4 pues el número que queda es el 1 y en el segundo hueco queda colocar el número que sobra, el 4.

1 4 3 2

3 _ _ 4

4 3 2 1

_ _ _ 3

Ahora vamos a por la segunda fila: Como ya están colocados el 3 y el 4 los descartamos; en el tercer hueco si miramos la tercera columna podemos observar podemos observar que ya hay un 2 por lo tanto sabemos que este no puede ser entonces será el 1 y el 2 lo colocamos en la segunda fila.

1 4 3 2

3 2 1 4

4 3 2 1

_ _ _ 3

Por último tratamos la última fila: En el primer hueco vemos que en la columna solamente falta un número, el 2. En el segundo hueco nos fijamos en la segunda columna y el número que falta es el 1, en el tercer hueco miramos la tercera fila y solamente falta un número, el 4.

El Sudoku resuelto se vería de esta forma:

1 4 3 2

3 2 1 4

4 3 2 1

2 1 4 3

Ahora que ya sabemos como resolver sudokus os animo a intentarlo vosotros en casa o con amigos. Para ello, ¡Os dejo otro ejemplo!

Matemáticas manipulativas: Bloques multibase

 ¡Hola a todos!

Hoy vamos a tratar otro instrumento para trabajar las matemáticas manipulativas, los bloques multibase, estos se llaman así porque se encuentran en la base que corresponde a nuestro sistema de numeración decimal ya que están en base 10.

    - ¿Qué son?:

Son un material manipulativo que consiste en 4 piezas diferentes, cada una de ellas se corresponde con cada uno de los distintos ordenes de la unidad de nuestro sistema de numeración decimal desde las unidades pasando por decenas centenas y acabando en las unidades de millar. 

Debido a esto podemos ir convirtiendo las unidades en decenas, estas en centenas y las centenas por último en unidades de millar. Como bien sabemos en nuestro sistema decimal si juntamos 10 bloques de unidades decimos que pasamos a tener una decena completa, lo mismo ocurre cuando tenemos 10 barras de decenas podemos ver que se corresponde exactamente con una tabla de las centenas y también sucede cuando tenemos 10 placas de decenas ya que pasamos a tener un bloque de unidad de millar.

    

    - ¿Para qué las podemos usar?:

Podemos tanto representar números como realizar operaciones aritméticas como la suma, resta, división y multiplicación.

Representar números:

Si queremos representar el número 244 usaremos 2 placas de centenas, 4 barras de decenas y 4 bloques pequeños de unidades. 

Otro ejemplo podría ser el 1328 en el que usaremos 1 bloque de unidades de millar, 3 placas de centenas, 2 barras de decenas y 8 unidades.

Ahora que ya sabemos representar números pasaremos a ver como se suman los número utilizando los bloques multibase.

Sumar: Consiste en unir las piezas que representan cada uno de los números.

Si quiero sumar 12 + 17 vamos a representar cada uno de los números, primero representamos el 12 con 1 decena y 2 unidades y luego el 17 con 1 decena y 7 unidades. Ahora, para realizar la operación de la suma sólo debemos tomar en cuenta todas las piezas que forman estos dos números, el resultado total tiene 2 barras de decenas y 7 unidades por tanto 12 + 17 son 29.

Otro ejemplo sería 157 + 64; primero representamos cada uno de los números, el 157 lo representamos con 1 placa de centena, 5 decenas y 7 unidades y el 64 con 6 barras de decenas y 4 unidades. Para conocer el resultado final de la operación debemos unir todas las piezas de cada uno de los números, empezamos viendo que ocurre con las unidades. Tenemos 10 unidades y una suelta por lo que consideramos esas 10 unidades como una barra de decenas más, pasamos a las decenas e igual que antes primero vamos a ver si podemos convertirlo en una placa, al juntar todas vemos que completan las 10 barras por lo que consideramos una placa. El resultado de esta operación sería de 2 placas, 2 barras y 1 bloque de unidad esto quiere decir que 157 + 64 es igual a 221.

Restar: Ahora vamos a ver como se resta con los bloques.

Empezamos con un ejemplo sencillo 36 - 16, representamos el primer número con 3 barras de decena y 6 bloques de unidad y ahora podríamos hacerlo de 2 formas distintas. 

    - La primera sería quitar directamente las piezas a 36 que forman el número 16, el número 16 tiene 6     unidades por lo que retiramos 6 unidades y 1 decena y el resultado de la operación son 2 barras, por        lo que  36 - 16 = 20.

    - Otra forma de hacerlo sería representado los dos números así que vamos a representar el 36 con 3 barras de decena y 6 bloques de unidad y 1 una barra de decena y 6 bloques de unidad. Vamos a quitar a la vez de los dos números hasta que ya no quede nada en el sustraendo, quitamos 6 unidades de los dos números y una barra de los dos, nos queda el resultado final que son 2 barras, es decir, 20.

Vamos a realizar ahora otra resta 237 - 155, representamos el 237 con 2 placas de centenas, 3 barras de decenas y 7 bloques de unidades y ahora vamos a seguir el primer método que mencionamos arriba. Con este material podemos empezar a restar por la parte que queramos ya sean centenas, decenas o unidades; en este caso empezaremos por las unidades. Tenemos que restar 5 unidades y como tenemos 7 bloques las quitamos sin problema, ahora tenemos que quitar 5 decenas sin embargo no podemos porque no tenemos tantas decenas así que lo que vamos a hacer va a ser cambiar un placa de centenas por 10 barras de decenas, de esta manera si que podremos retirar las 5 placas que necesitábamos y nos quedan 8 barras. Por último quedan por restar las centenas y finalmente como solo tenemos que retirar 1 sacamos la placa y nos quedarían 8 barras y 2 cubos es decir 82.

División: Explicamos esta antes que la multiplicación ya que con los bloques multibase es bastante más sencilla.

Vamos a tratar de dividir 230 : 4, representamos el 230 con 2 placas de centenas, 3 barras de decenas y ninguna unidad. Ahora como lo debemos dividir en 4 grupos, dividiremos este material en 4 grupos. Pero en este momento no podemos separar en cuatro grupos ya que no tenemos 4 bloques , así que cambiaremos una de las barras de decena por 10 cubitos de unidad y ahora si que podemos dividirlos en 4 grupos.

Creamos cuatro grupos y vamos llevando los bloques de unidad a cada uno de ellos, cuando tenemos 2 bloques en cada grupo nos quedan 2 unidades sueltas por  lo que no podemos seguir repartiendo porque alguno de los grupos quedaría descompensado, así que hacemos lo mismo que hicimos antes con las barra de decenas con las dos que nos quedan, pasarlas a unidades, por lo que tenemos 20 cubos de unidades que sumados a los dos que sobraban antes hacen 22. Seguimos repartiendo los bloques de unidad entre los 4 grupos y cuando tenemos 7 bloques de unidad en cada grupo volvemos a tener el mismo problema de antes que nos quedan 2 bloques de unidad que no podemos repartir así que las apartamos y pasamos a repartir las placas de centenas pero nos sucede los mismo así que las sustituimos por sus barras correspondientes que serían 20. 

Volvemos a repartir las barras entre los distintos grupos, y esta vez si que podemos repartir 5 de cada una en los 4 grupos, en este caso el cociente de la operación sería de 5 decenas y 7 unidades es decir 57 y el resto sería 2.

Multiplicar: 

Empezamos con la operación 22 x 4, colocamos las 2 barras de decenas y 2 unidades colocadas en una línea recta una detrás de otra para tratar de formar la base de un rectángulo, ahora pasamos a colocar las 4 unidades en una línea vertical para hacer uno de los lados cortos del rectángulo.

Ahora vamos a pasar a rellenar los huecos que se quedan como si fuera una tabla de doble entrada de tal manera que las dimensiones coincidan, es decir, que si estoy multiplicando unidad por decena debemos colocar una decena y si es unidad por unidad colocamos una unidad. Cuando terminemos de rellenar la tabla solo debemos fijarnos en el resultado que nos queda dentro ya que los números que usamos para hacer lo que serían para hacer el marco de la tabla no se cuentan, procedemos a contar tenemos 8 barras y 8 unidades por lo que 22 x 4 sería 88.

Mínimo Común Múltiplo

 ¡Hola a todos!

Espero que estéis listos para trabajar ya que lo que explicaremos hoy lo seguiréis usando durante toooda vuestra etapa en el colegio e instituto. Estamos hablando del M.C.M, mínimo común múltiplo.

Primero debemos entender qué son los múltiplos de un número, estos son los números que se obtienen de multiplicar ese número por otros. Usemos un ejemplo; queremos calcular los múltiplos de 2 así que vamos a comenzar a multiplicarlo por varios números 2 x 1 es 2 por lo que confirmamos que 2 es múltiplo de sí mismo, 2 x 2 es 4 así que también es múltiplo de 2, si lo multiplicamos por 3 obtenemos otro múltiplo que es el 6, lo multiplicamos por 4 obtenemos otro múltiplo que es el 8 y así seguiría con el 10, el 12...

¿Qué es?:  Se trata del número positivo más pequeño que tienen común dos o más números.

¿Cómo calcularlo?: Vamos a ver 2 formas de hacerlo a través de ejemplos

La primera manera de hacerlo es sacando los múltiplos de cada número y buscando el común.

    - ¿Cuál es el m.c.m de 3 y 5?: Para calcularlo lo primero que debemos calcular son varios múltiplos de los dos números que en este caso son 3 y 5, los múltiplos del 3 serían 3, 6, 9, 15, 18.... y los del 5 son 5, 10, 15, 20, 25 ,30. Ahora observamos los números comunes entre ambos, es decir, que aparezcan tanto en uno como en otro y debemos elegir el más pequeño, que en este caso sería el 15. Por lo que el m.c.m de 3 y 5 es 15.

    - ¿Cuál es el m.c.m de 2 y 4?: Calculamos los múltiplos de 2 (2, 4, 6, 8, 10, 12....) y de 4 (4, 8, 12, 16, 20, 24...) y buscamos los múltiplos comunes entre ambos que serían el 4, el 8 o el 12 pero cuando tenemos varios múltiplos comunes el mínimo común múltiplo será el más pequeño, es decir, el m.c.m de 2 y 4 es 4.

    - ¿Cuál es el m.c.m de 5 y 7?: Calculamos los múltiplos de 5 (5, 10, 15, 20, 25, 30, 35...) y los de 7 (7, 14, 21, 28, 35, 42...), buscamos el múltiplo común más pequeño entre ambos que es 35 por lo que el m.c.m de 5 y 7 es 35.

La segunda manera sería descomponiendo los números y después eligiendo los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente y por último multiplicándolos.

    - ¿Cuál es el m.c.m de 2 y 4?: Descomponemos el 4 (2 2) y el 2 (2), escogemos los factores comunes de mayor exponente ya que no comunes no hay en este caso por lo que el m.c.m de 2 y 4 es 4.

    - ¿Cuál es el m.c.m de 8 y 12?: Descomponemos el 12 (2 2  x 3) y el 8 (2 3), escogemos los factores comunes de mayor exponente que sería el 2 3 y los no comunes que es el 3, los multiplicamos y nos da el m.c.m de 8 y 12 que es 24.

Vamos a subir un poco el nivel buscando el mínimo común múltiplo de 3 números.

    - ¿Cuál es el m.c.m de 12, 36 y 48?: Descomponemos 12 (2 2 x 3), 36 (2 2 x3 2), 48 (2 4 x 3) y seleccionamos los factores comunes de mayor exponente que son 2 4  y 3 2  ahora solo queda multiplicarlos y nos dará el m.c.m, 16 x 9 = 144.

Ahora, ¡Os toca a vosotros!:

    - ¿Cuál es el m.c.m de 6 y 8?

    - ¿Cuál es el m.c.m de 6, 9 y 12?

    - ¿Cuál es el m.c.m de 72 y 120?

Redondear y truncar números decimales

 ¡Hola a todos!

Hoy vamos a hablar de los números decimales, concretamente de como realizar el redondeo y truncamiento.

¿Qué es?: Redondear un número se trata de encontrar un número cercano que sea más sencillo que podemos utilizar para operar de una manera más sencilla. Por ejemplo, si vamos a comprar y nos cuesta todo 3,92 € y nos preguntan cuanto nos ha costado la compra en total, normalmente no decimos que nos costó 3,92€ sino que decimos que nos valió alrededor de 4€ o aproximadamente 4€.

Vamos a aprender a redondear números decimales, es decir, aquellos números que tienen una parte entera y una parte decimal detrás de la coma. Podemos redondear los número a las unidades, a las décimas, a las centésimas, a las milésimas..., estas tres últimas se representan con sus letras iniciales pero en minúscula (d, c, m) para que se diferencien de las decenas y centenas en las que se usan con letras mayúsculas (D, C)

Redondear: Utilizaremos el siguiente número para mostrar un ejemplo de como redondear, el 134,376.

Primero vamos a rodearlo a las unidades, subrayamos el número situado en la unidad y comenzamos a escribir el número 13... y al llegar al 4 que ocupa la unidad vemos si dejamos el 4 o subimos a la siguiente unidad que sería el 5, para decidir eso debemos fijarnos en la siguiente cifra que en este caso sería el 3 de las décimas. Si el número siguiente es mayor o igual a 5 sumamos uno al número y si al contrario este es menor que 5 dejamos el número igual, en este caso ya que el número 3 de las décimas es menor que 5 dejamos el 4 de las unidades igual y nos quedaría redondeado como 134.

Ahora lo redondeamos a las décimas; marcamos el número que ocupa la posición de las décimas que es el 3 y los subrayamos luego escribimos todo el número hasta las décimas 134,... y ahora debemos observar el número siguiente a las décimas para decidir si sumamos un número o lo dejamos igual en este caso este es el número 7 y dado que este es mayor que 5 sabemos que debemos sumar 1 al 3 de las décimas. El número redondeado a las décimas sería 134,4.

Seguimos practicando con este número y nos centramos en la centésimas, repetimos el mismo proceso de subrayar el número que ocupa la posición de las centésimas que en este caso es el número 7, escribimos el número hasta llegar al valor de redondeo 134,3... ahora debemos fijarnos en el número posterior al 7 para ver si se le debe sumar un número o dejarlo igual. Ya que el número de las milésimas es 6 y por lo tanto mayor que 5 al número de las centésimas se le debe sumar 1 y entonces el número redondeado a las centésimas sería 134,48.

    - Veamos otro ejemplo con el número 148,984, para asegurarnos de que queda claro lo     redondearemos a las unidades, décimas y centésimas:

En primer lugar marcamos la unidad que sería el número 8 y escribimos todo el número hasta las unidades 14..., ahora vamos a comprobar si debemos sumarle uno a la unidad o no fijándonos en el número que le sigue que es el 9 ya que este es mayor que 5 le sumamos un número a la unidad. Al sumarle uno al 8 nos queda el siguiente número tras el redondeo, 149.

Vamos a por las décimas que en este caso es el número 9, observamos el número siguiente que son las décimas para ver si debemos sumar 1 a las décimas o dejarlas igual. Dado que el 8 de las centésimas es mayor que 5 vemos que debemos sumarle 1 a 9 de las décimas que da 10 entonces lo pasamos a la unidad como una más, por lo que sería también 149.

A continuación buscamos las centésimas que es el 8 y nos fijamos en el número siguiente para redondear, este es el 4 y como es menor que 5 dejamos el número de las centésimas lo dejamos igual entonces el número redondeado sería 148,98.

Truncamiento: En el caso del truncamiento no nos fijamos en los números siguientes para sacar el número sino que eliminamos aquellos decimales que no nos interesan.

Vemos un ejemplo:

3,6285. Si nos piden truncar a las centésimas lo que debemos hacer es localizar estas y escribir el número entero hasta con el valor a redondear incluido que en este caso sería 3,62 y omitimos el resto de decimales, si quisiéramos truncar a las décima sólo habría que volver a escribir el número hasta las décimas que es 3,6 y omitir los demás.

Al contrario si quisiéramos redondear a las centésimas debemos fijarnos en el número siguiente a las centésimas que sería el 8 como este es mayor o igual que 5 debemos sumarle 1 a las centésimas, así que el número quedaría como 3,63.

Multiplicación por el Método Hindú

 ¡Hola a todos!

Hoy vamos a aprender un nuevo método de multiplicación, el método hindú o multiplicación por rejilla; esta es una forma visual y sencilla de multiplicar número, se trata del precursor de los métodos que usamos hoy en día y es una de las bases de las matemáticas modernas.

¿Qué es?: Se utiliza una rejilla para organizar los números que queremos multiplicar y en lugar de multiplicar todo de golpe o hacer largas operaciones, se divide el cálculo en pasos más pequeños y sencillos.

Pasos a seguir:

    1. Dibujamos una rejilla.

Debemos hacer una tabla con tantas filas y columnas como dígitos tengan los números que vamos a multiplicar, en este caso para aprender este método utilizando la multiplicación 23 x 45. Así que necesitaos una rejilla de 2 filas y 2 columnas:

2. Dividimos las casillas: 

A continuación dibujamos una diagonal en cada casilla, dividiéndola en 2 triángulos lo que nos ayudará a organizar los números.

3. Multiplicamos cada número: Se multiplican los números de las filas por lo delas columnas y escribimos en resultado en la casilla correspondiente, el dígito de las decenas va en la parte izquierda de la diagonal y el de las unidades en la derecha.

2 x 4 = 8 (Ya que no hay dígito en las decenas colocaremos un 0)

2 x 5 = 10

3 x 4 = 12

3x 5 = 15                            

4. Sumamos los números de las diagonales: Extendemos las diagonales que ya existen y sumamos los número que coincidan en las diagonales, excepto los números de la multiplicación inicial.

Empezamos a sumar por la derecha:

    - Primera diagonal: 5

    - Segunda diagonal: 2 +1 = 3

    - Tercera diagonal: 8 + 1 + 1 = 10 ()

    - Cuarta diagonal: 0

5. Unimos los resultados: Se leen los números de derecha a izquierda y les adjudicamos un valor de unidades, decenas... también de derecha a izquierda.

En este caso quedaría como 5 unidades, 3 decenas, 0 centenas y1 unidad de millar. Es decir, que 23 x 45 = 1035.

La utilidad de este método reside en que es visual y organizado ya que podemos observar cada paso de manera clara y además por esto mismo reduce errores al dividir en problemas en pequeñas partes.

Matemáticas manipulativas: Las regletas de Cuisenaire

 ¡Hola a todos!

Hoy vamos a retomar un tema que comenzamos con el ábaco, las matemáticas manipulativas que son una forma de aprender matemáticas usando objetos físicos que los alumnos pueden mover, tocar y explorar.

En este caso trataremos las regletas Cuisenaire y como sumar y restar con ellas, estas se utilizan mucho en Educación Primaria para trabajar el sentido numérico pero tiene un recorrido por los contenidos muy amplio ya que también se utilizan en actividades concretas en Educación Infantil y Secundaria. 

Un punto fuerte de estas es que al ser de madera puede reutilizarse durante múltiples cursos y también resulta atractivo a los alumnos debido a sus colores llamativos.

- ¿Cómo se usan?

Se colocan las 10 regletas ordenadas por tamaño en un escalera, como en la imagen de arriba. A la regleta más pequeña que se encuentra arriba se le llama unidad; la siguiente regleta está a distancia de una blanca, es decir que dos blancas hacen una roja, una roja y una blanca hacen una verde y así consecutivamente con la escalera.

Visualizar los números no es una tarea fácil para nuestros alumnos, es un concepto abstracto para ellos aunque nosotros ya estemos familiarizados. 

Gracias a este instrumento los alumnos perciben los números como longitudes, ven que la regleta 3 es más larga que la 2. También ven los números como cantidades, que 3 regletas blancas de unidad equivalen a una regleta verde que representa el 3.

 

Antes de comenzar con las operaciones matemáticas debemos realizar muchas actividades con las regletas para que los alumnos se familiaricen con los colores y las cantidades que representan y puedan trabajar lo básico de la composición y descomposición con las piezas. Lo mejor es dejar que ellos jueguen libremente con las piezas para que así cuando tengan que usarlo en las clases les resulte más sencillo y ya lo tendrán asimilado.

- ¿Cómo sumamos?

Por ejemplo, tomamos la regleta del 5 y la del 4 y las colocamos una después de otra. Si colocamos la del 9 debajo de ellas veremos que estas son equivalentes a la del 9, por lo que ven que sumando el 5 y el 4 es igual a 9. 

También se visualiza la propiedad conmutativa ya que da igual que coloquemos primero la regleta del 5 o la del 4 que tendrán el mismo tamaño que la regleta del 9, los alumnos observan de manera práctica lo que en clase por escrito sólo ven de manera mecánica.

- ¿Cómo restamos?

Vamos a restarle 7 al 9, si colocamos la regleta del 9 y luego la del 7 debajo vemos que se puede cubrir el hueco que falta con una regleta de 2, por lo que se demuestra que 9 - 7 = 2. Otra manera de plantearlo sería pensando en que número hay que sumarle a 7 para que sea igual a 9, de esta manera nos permite ver que la resta es la inversa de la suma.

Solo con estos dos ejemplos podemos observar el potencial de las regletas para que los niños visualicen estas pequeñas operaciones y también se preparan para grandes operaciones, multiplicaciones, divisiones e incluso potencias, raíces y ecuaciones de una manera más avanzada.

Estrategias de cálculo mental

 ¡Hola a todos! 

Imagina que vas a comprar una barra de pan y una botella de agua al supermercado con una moneda de 2€, el agua vale 1,20€ y la barra de pan 0,75€,  para saber si podremos comprar las dos cosas sumamos los dos precios en nuestra cabeza. Esto no es magia ni algo que venga innato con nosotros, se llama cálculo mental y debemos practicarlo para asegurarnos de poder calcular rápidamente sin ayudarnos de papel o de calculadoras.

Por eso mismo hoy trabajaremos el cálculo mental y algunos trucos para que resulte más fácil y eficaz. Esta entrada está dirigida a los alumnos de 6º de Primaria.

    - Métodos de cálculo mental:

Compensación: Tal y como dice su nombre, lo que le agregamos al primer número para compensar se lo restamos al final.

Por ejemplo, si tienes que sumar 299 + 43 pensamos en cuanto le falta a 299 para llegar a su múltiplo de 10 más cercano (300) y solo le falta 1. De esta forma sumamos 300 + 43 = 343 y le restamos el 1 de antes por lo que nos da el resultado final, 342.

Vamos a ver otro ejemplo más, tenemos 397 + 25. ¿Cuánto le falta a 397 para convertirse en su múltiplo de 10 más cercano? Le faltan 3, si añadimos 3 a 397 se convierte en 400 y repetimos el proceso anterior. 400 + 25 = 425 y restamos los 3 que añadimos antes, por lo que nos da 422. 

Descomposición: Se descomponen los números de manera mental o en un ábaco para facilitar el cálculo.

Por ejemplo tenemos 13 - 6, descomponemos el número 13 en 10 y 3. Ahora solo hay que restarle 6 al 10 que nos daría 4 y para terminar le sumamos los 3 restantes de la descomposición 4 + 3 = 7, lo que quiere decir que 13 - 6 = 7.

Este truco también sirve para las multiplicaciones: si tenemos 36 x 8 descompondremos el 33 en 30 y 3 y dividimos los dos números por el 8, 30 x 8 = 240  3 x 6 = 48, ahora solo queda sumar los dos números y nos dará el resultado final. 240 + 48 = 288, lo que significa que 36 x 8 es igual a 288.

Divisiones: También existen varios trucos a la hora de facilitar las divisiones en el cálculo mental.

Si tenemos una división como 68 ÷ 4, podremos dividir el 68 entre 2 dos veces. 68 ÷ 2 que sería 34 y luego dividiremos entre 34 de nuevo entre 2, 34 ÷ 2 = 17. Por lo que sabemos que 68 ÷ 4 es 17 de una manera más fácil y rápida.

Esto también sirve para cuando tengamos que dividir un número entre 8 pero en lugar de dividir entre 2 dos veces lo haremos tres. Ahora vamos a dividir 360 ÷ 8, dividiremos 360 ÷ 2 = 180, luego 180 ÷ 2 = 90 y por último 90 ÷ 2 que nos dará el resultado final de 45. 

    - Actividades para la clase:

Una vez explicados estos trucos a los alumnos y que lo practiquen de forma individual, vamos a pasar a los juegos para así mejorar esta habilidad todos juntos de forma dinámica y que se puedan ayudar entre ellos.

    El juego se llama Carrera de números y para llevarlo a cabo necesitamos los siguientes materiales: Unas tarjetas de cartón o plastificadas con los números de 1 al 100; otra serie de tarjetas con signos de suma, resta, multiplicación y división; un reloj con temporizador para llevar los tiempos y un folio o la misma pizarra para anotar las puntuaciones.

Para jugar se dividirá a la clase en grupos reducidos de 4 estudiantes cada uno y colocaremos en 2  montones las tarjetas con los números y con los signos de operación Se jugará por turnos y un representante de cada grupo se levantará y cogerá dos tarjetas de números y una de operación, todos los integrantes del grupo tendrán 20 - 30 segundos para resolver esta operación mentalmente y decirla en alto. Si responden correctamente ganarán 1 punto pero si fallan la operación pasará a otro grupo para que tengan la oportunidad de resolverla.

Se puede disminuir y aumentar la dificultad del juego según el curso nivel de los alumnos, por ejemplo solo usando operaciones de sumas y restas y añadiendo paulatinamente las multiplicaciones o divisiones o usando números pequeños (1 - 20).

    - ¡Un reto para vosotros!:

Ahora que ya sabéis utilizar el cálculo mental voy a dejar algunos ejercicios para que resolváis y practiquéis esta nueva habilidad. Recordad usar los trucos que están arriba, ¡suerte!

1. 894 + 267 = ?

2. 438 - 345 = ?

3. 25 x 9 = ?

4. 72 ÷ 8 = ?

Matemáticas manipulativas: El ábaco

¡Hola a todos!

Hoy vamos a hablar del predecesor de las calculadoras que conocemos hoy en día, el ábaco es un instrumento matemático utilizado por muchas civilizaciones antiguas para realizar operaciones como sumar o restar e incluso multiplicar y dividir. Existen ábacos verticales y horizontal, aquí nos centraremos en el horizontal.

El ábaco es una herramienta muy usada durante las primeras introducciones a las operaciones aditivas ya que al manipular los números es más fácil en un primer momento para los niños. Está compuesto por un marco que sostiene todo el instrumento y varias columnas de varillas por las que se deslizan 10 bolitas móviles a las que se le asigna un valor numérico.

    - ¿Cómo funciona?

A cada fila se le asigna un valor según su posición, empezando desde abajo son los  siguientes:

Primera fila: Unidades    Segunda fila: Decenas    Tercera fila: Centenas

Cuarta fila: Unidades de millar    Quinta fila: Decenas de millar    Sexta fila: Centenas de millar

Depende de las columnas que tenga el ábaco y lo avanzado que sea podemos llegar a hablar unidades de millar de millón o de billón, pero para este nivel no serán necesarias.

Por ejemplo, si queremos representar el número 586 moveremos a la derecha 6 bolitas en la fila de las unidades, 8 en la de las decenas y 5 en la de las centenas. En el caso de un número de 5 cifras como puede ser 47.325 moveremos hacia la derecha 5 bolitas en la fila de las unidades, 2 en la de las decenas, 3 en la de las centenas, 7 en la de las unidades de millar y 4 en la de las decenas de millar.

Ahora que ya sabemos representar los números en el ábaco vamos a subir un poco nivel...

    - Operaciones básicas

Suma: Vamos a explicarlo con un ejemplo para que sea más fácil de entender, si queremos sumar 12 + 15 debemos colocar 1 bolita en la fila de las decenas y 2 en la de las unidades (para representar el 12) y 1 en la de las decenas y 5 en la de las unidades. Ahora solo hace falta mirar el resultado que nos queda en el lado derecho del ábaco, tenemos 2 bolitas en las decenas y 7 en las unidades por lo que el resultado es 27.

¿Cómo sumamos números que requieren llevadas? Vamos a sumar 47 + 36 empezamos representando el número 47 por lo que colocamos 4 bolitas en las decenas y 7 en las unidades, ahora vamos a sumar el 36. Sumamos primero las unidades, le debemos añadir 6 bolitas a las 7 que ya tenemos, nos daría 13 pero no podemos colocar 13 bolitas en la fila de unidades entonces dejamos 3 bolitas en la fila de las unidades y colocamos 1 en las decenas. Ahora pasamos a sumar las decenas, tenemos 4 bolitas del número 47 más 1 que nos llevamos anteriormente y debemos añadir 3 del 36. 4+1+3 = 8 Por lo que el resultado es 83.

Resta: Es muy similar a la suma pero en lugar de añadir bolitas las quitamos, si restamos un número mayor al disponible de la fila debemos pedir prestado a la fila de mayo valor. Restamos 52 - 37 en el ábaco, primero representamos el número inicial (52) 5 bolitas en la fila de las decenas y 2 en la de las unidades. Ahora restamos por pasos; primero en las unidades debemos quitarle 7 a 2 pero no es posible ya que no hay suficientes bolitas en la fila de las unidades por lo que tomamos prestada una bolita en la fila de las decenas (que equivale a 10 unidades), ahora tenemos 12 bolitas en las unidades y 4 en las decenas y se restan las 7 bolitas de las unidades, 12 - 7 = 5 bolitas en las unidades. Pasamos a las decenas, tenemos 4 bolitas en su fila y debemos quitar 3, 4 - 3 = 1 bolita en las decenas. El resultado final sería 15.

    - Multiplicaciones y divisiones

También es posible multiplicar y dividir con el ábaco pero esto requiere de práctica, vamos a explicarlo con números pequeños para entenderlo bien.

Multiplicar: 23 x 4. Empezaremos representando el número 23 en el ábaco con 2 bolitas en la fila de las decenas y 3 en la de unidades; ahora multiplicamos cada parte del número por 4, las decenas 20 x 4 = 80 ponemos 8 bolitas en la fila de las decenas y las unidades 3 x 4 = 12 colocamos 1 bolita en las decenas y 2 en las unidades para representar 12. Sumamos los dos resultados, es igual a 92.

Dividir: 84 ÷ 4. Representamos el número 84 en el ábaco, 8 bolitas en las decenas y 4 en las unidades. Dividimos primero las decenas 8÷4 = 2 por lo que movemos 2 bolitas en la fila de las decenas y luego las unidades 4 ÷ 4 = 1 movemos 1 bolita en la fila de las unidades. El resultado final sería 21.

    - ¿Por qué es importante?

Nos ayuda a comprender mejor las matemática al tratarse de una herramienta visual en la que podemos ver como funcionan los números al mover las bolitas y facilita la comprensión de las operaciones.

Se trata de una herramienta inclusiva ya que en muchos países es utilizado por personas ciegas o con dificultades visuales usan versiones especiales de ábacos.

También ayuda a mejorar el cálculo mental ya que con el tiempo los usuarios del ábaco pueden resolver problemas matemáticos rápidamente sin ayuda de papel y lápiz, incluso pueden llegar a imaginarse el propio ábaco y usarlo para calcular.

    - ¡Ahora te toca a ti resolver estas operaciones con el ábaco!

78 + 64 = ?

146 - 78 = ?

12 x 15 = ?

56 ÷ 12 = ?

Trucos para multiplicar más rápido

 ¡Hola a todos!

Hoy dirigimos la entrada a los alumnos de 2º ciclo de Educación Primaria, concretamente en el área de las multiplicaciones.

Vamos a aprender trucos para multiplicar de manera más fácil, estos no se tratan solo de una inversión para facilitar el proceso de aprendizaje sino que también transforman las matemáticas en algo práctico y emocionante, además de aumentar la velocidad en los cálculo y mejorar la confianza en matemáticas.

- Multiplicar por 9 usando los dedos: Este truco sirve para la tabla del 9.

Lo primero es extender las manos con los dedos abiertos mirando hacia ti y se baja el dedo que corresponde al número por el que se está multiplicando, por ejemplo si se trata de 9 x 3 bajamos el tercer dedo empezando por la izquierda. Los dedos que queden a la izquierda serán las decenas, en este caso 2, y los que quedan a la derecha las unidades, 7. Por lo que el resultado es 27.

-Multiplicar por 11: Seguiremos los siguientes pasos.

Para los números de un cifra, escribimos el número 2 veces, 6 x 11 = 66.

Para los número de dos cifras usaremos la operación de 52 x 11 como ejemplo. Dividimos el número en dos cifras, 5 y 2, las sumamos y las colocamos en medio del número inicial, 5 + 2 = 7. El número final sería 572. 

En caso de que la suma sea mayor que 9, nos llevaremos un 1 a las decenas. Por ejemplo 67 x 11, sumamos 6 + 7 = 13, sumamos el 1 al 6 que ocupa el lugar de las decenas y seguimos los pasos anteriores. El resultado quedaría en 737.

- Multiplicar por 10: 

Sólo debemos agregar un 0 al final del número a multiplicar por 10. Por ejemplo, 23 x 10 = 230.

- Multiplicar por 5 rápidamente: 

Si el número a multiplicar por 5 es par lo dividimos por 2 y añadimos un 0 al final. 36 x 5, 36 es par así que lo dividimos entre 2, 36 ÷ 2 = 18 y añadimos un 0 al final. 36 x 5 = 180.

Si el número es impar entonces le debemos restar 1, dividirlo entre 2 y por último añadir un 5 al final. 47 x 5; al ser impar le restamos uno 47 - 1 = 46, 46 ÷ 2 = 23 y añadimos un 5 al final quedando como resultado 235.

-Multiplicar por 12:

Multiplicamos el número por 10 y luego lo sumamos 2 veces. Es decir en el caso de 7 x 12, multiplicaremos 7 x 10 = 70 y ahora sumamos 7 dos veces (14), 70 + 14 = 84. 

- Multiplicar por 25: 

El truco consiste en dividir el número a multiplicar por 25 entre 4 y añadir dos ceros al final. Vamos a probarlo con 48 x 25, dividimos 48 ÷ 2 = 12 y añadimos dos ceros, el resultado es 1.200.

- Multiplicar números cercanos al 10 o 100: Usaremos diferencias.

98 x 97. Dado que ambos están cerca del 100 restaremos 100 a cada número 98 - 100 = -2 y 97 - 100 =-3, realizaremos una suma  cruzada 98 - 3 y 97 - 2 = 95. Después multiplicamos las diferencias (-2) x (-3) = -6 y colocando un 0 en medio de estos dos resultados podemos llegar a la conclusión final de que el resultado es de 9.506.

-Doble y mitad: Sirve para convertir números difíciles de multiplicar en unos más fáciles.

Se divide uno de los números entre 2, se multiplica el otro por dos y por último se multiplican esos dos resultados. 16 x 25; 16 ÷ 2 = 8 y 25 x 5 = 50, ahora multiplicamos 8 x 50 que da 400.

-Multiplicar cuadrados: Esto significa que se multiplica un número por si mismo.

Si tenemos un número acabado en 5, el cuadrado siempre terminará en 25. Para hacer esta operación 25 x 25 tomamos el número de las decenas (2) y lo multiplicamos por su siguiente (3) 2 x 3 = 6, ahora solamente queda añadir el 25 al final y ya lo tenemos 625.

Ahora que ya sabéis todos estos trucos para multiplicar fácilmente... ¡Os toca a vosotros! Vamos a verr lo que habéis aprendido.

    - ¡Un reto para vosotros!

Ahora debéis resolver las siguientes operaciones ayudándoos de los trucos.

9 x 7 = ?

45 x 11 = ?

58 x 5 = ?

23 x 12 = ?

15 x 15 = ?

36 x 25 = ?